Teorema fondamentale del calcolo integrale: teoria

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I concetti di derivata e di integrale sono profondamente correlati, nonostante il loro legame non sia evidente a un primo sguardo. Infatti, mentre la derivata corrisponde all’idea intuitiva di “tasso di variazione infinitesimale” di una funzione, il concetto di integrale corrisponde a quello di “area sottesa al grafico” di una funzione. Si può però vedere che le operazioni di derivazione e di integrazione sono l’una inversa dell’altra, in un senso che viene precisato dal teorema fondamentale del calcolo integrale: sotto opportune ipotesi, la derivata in $x$ della funzione integrale $\int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t$ è pari a $f(x)$ e, viceversa, l’integrale $\int_0^x f'(t) \,\mathrm{d}t$ della derivata è pari a $f(x)$ .

Questo articolo è dedicato a uno studio profondo ma chiaro dei precedenti risultati, trattando i seguenti argomenti:

Definizione di primitiva di una funzione, sue proprietà e condizioni necessarie per l’esistenza di primitive;
Prima parte del teorema fondamentale del calcolo integrale: la funzione integrale di una funzione continua è una sua primitiva;
Seconda parte del teorema fondamentale del calcolo integrale: la funzione integrale della derivata $f'$ è pari a $f$ a meno di una costante.

Ogni teorema viene motivato da domande introduttive e illustrato da esempi e controesempi di difficile reperibilità che chiariscono il ruolo delle ipotesi. Nel testo vengono inoltre proposti esercizi le cui soluzioni sono raccolte alla fine del volume.
Il testo, scritto con precisione meticolosa e chiarezza didattica, è quindi un’utile risorsa formativa e un’avventura appassionante nel cuore del calcolo integrale. Buona lettura!

Consigliamo la lettura del seguente materiale teorico su argomenti correlati:

Segnaliamo anche le seguenti raccolte di esercizi:

Teorema fondamentale del calcolo integrale: introduzione

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Lo scopo di questa dispensa è analizzare il teorema fondamentale del calcolo integrale, che lega l’esistenza di primitive di una certa funzione $f$ a proprietà della sua funzione integrale. Questi risultati si sentono spesso riassumere nella frase “l’integrazione è l’operazione inversa della derivazione”. Ci accingiamo a studiare sotto quali ipotesi vale precisamente questa sorta di invertibilità e quali assunzioni, invece, non bastano per ottenerla.

I risultati principali di questo lavoro sono il teorema 4.1 e il teorema 5.2, costituenti la prima e la seconda parte del famoso teorema fondamentale del calcolo integrale:

$\quad$

Il teorema 4.1 afferma che la derivata della funzione integrale di una funzione $f$ continua è pari a $f$ ;

Il teorema 5.2 afferma che l’integrale della derivata di una funzione derivabile $F$ è pari a $F$ (a meno di una costante).

Il lavoro è così organizzato:

$\quad$

Nella sezione 2 vengono richiamate le definizioni fondamentali utili nel seguito.

Nella sezione 3 viene presentata una prima proprietà delle primitive di una funzione fissata: esse differiscono per una costante. Nella sezione 3.1 viene presentato il teorema di Darboux il quale garantisce che la derivata di una funzione $F$ in un intervallo $[a,b]$ assume tutti i valori compresi tra $F'(a)$ e $F'(b)$ ; ciò implica che, affinché una funzione $f$ ammetta una primitiva, deve soddisfare tale proprietà, detta dei valori intermedi.

Nella sezione 4 viene studiata la questione dell’uguaglianza tra una funzione $f$ e la derivata della sua funzione integrale. Viene presentato il teorema 4.1, che afferma che, se $f$ è una funzione continua, allora la sua funzione integrale è derivabile e la sua derivata è proprio pari a $f$ ; si tratta, quindi, di un teorema di esistenza di primitive: una funzione continua ammette come primitiva la sua funzione integrale.
Nella sezione 4.1 analizziamo alcuni esempi che mostrano come non sia in generale possibile, rinunciando all’ipotesi di continuità, ottenere $f$ come derivata della sua funzione integrale.

Nella sezione 5 presentiamo il secondo risultato principale della dispensa: il teorema 5.2; esso afferma che, se una funzione $F$ è derivabile e la sua derivata $F'$ è integrabile, allora la funzione integrale di $F'$ differisce da $F$ per una costante: più precisamente, vale la nota formula
(1) $\begin{equation*} \int_a^x F'(t) \, \mathrm{d} t = F(x) - F(a). \end{equation*}$

Nella sezione 5.1 utilizziamo questo risultato per rispondere a una questione posta nella sezione 4.1, costruendo un ulteriore controesempio all’esistenza di primitive di una certa funzione.

Teorema fondamentale del calcolo integrale: notazioni

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$\mathbb{N}$	insieme dei numeri naturali positivi;
$\mathbb{R}$	insieme dei numeri reali;
$[a,b]$	$=\{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b \}$ : intervallo chiuso di estremi $a, b$
$(a,b)$	$=\{x \in \mathbb{R} <. a < x < b \}$ : intervallo aperto di estremi $a, b$ ;
$F'(x_0)$ , $\dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}(x_0)$	derivata della funzione $F$ nel punto $x_0$ ;
$F'^+(x_0)$	derivata destra della funzione $F$ nel punto $x_0$ ;
$F'^-(x_0)$	derivata sinistra della funzione $F$ nel punto $x_0$ ;
$s(f,P), S(f,P)$	somme di Riemann inferiore e superiore della funzione $f$ rispetto alla partizione $P$ ;
$s(f), S(f)$	integrale inferiore e superiore di $f$ ;
$\int_a^b f(t) \, \mathrm{d}t$	integrale di Riemann della funzione $f$ sull’intervallo $[a,b]$ ;
$\sup_A f$	estremo superiore della funzione $f$ sull’insieme $A$ ;
$\inf_A f$	estremo inferiore della funzione $f$ sull’insieme $A$ .

Definizioni

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In questa sezione raccogliamo le definizioni e le nozioni utilizzate nel seguito. Nonostante molte di esse saranno sicuramente note al lettore, preferiamo richiamarle per completezza e per evitare ambiguità. Per approfondimenti, rimandiamo il lettore a [1] e [2]. Cominciamo con la definizione di funzione derivabile.

Definizione 2.1 (funzione derivabile). Sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $x_0 \in [a,b]$ ; $F$ si dice derivabile in $x_0$ se il limite

(2) $\begin{equation*} F'(x_0) = \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}(x_0) \coloneqq \lim_{x \to x_0} \frac{F(x) - F(x_0)}{x-x_0}, \end{equation*}$

esiste ed è finito; il valore di tale limite viene detto derivata di $F$ in $x_0$ . $F$ si dice derivabile in $[a,b]$ (o, più semplicemente, derivabile) se essa è derivabile per ogni $x_0 \in [a,b]$ .

$\quad$

Osservazione 2.1. Sottolineiamo come per noi una funzione è derivabile se la sua derivata esiste ed è finita ovunque; ciò differisce dalla definizione utilizzata da alcuni autori, i quali richiedono la sola esistenza della derivata.

Collegata a quella di derivata è la definizione di primitiva.

Definizione 2.2 (primitiva). Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile; $F$ si dice primitiva di $f$ se vale

(3) $\begin{equation*} F'(x) = f(x) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Si dice che $f$ ammette primitive se esiste almeno una sua primitiva.

$\quad$

In altre parole, $f$ ammette primitive se essa è la derivata di qualche funzione $F$ derivabile. L’uso del plurale è giustificato dal fatto che, se $f$ ha una primitiva $F$ , allora ne ha infinite: tutte le funzioni $F+c$ con $c \in \mathbb{R}$ sono primitive di $f$ .

Non richiamiamo esplicitamente la definizione di funzione integrabile secondo Riemann, rimandando il lettore, ad esempio, alla dispensa relativa all’integrale di Riemann [2]. Usiamo questo concetto per definire quello di funzione integrale.

Definizione 2.3 (funzione integrale). Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione integrabile. Una funzione $G \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ si dice una funzione integrale di $f$ se esiste $x_0 \in [a,b]$ tale che

(4) $\begin{equation*} G(x) = \int_{x_0}^x f(t) \, \mathrm{d} t \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

$\quad$

Primitive

Introduzione.

Cominciamo con l’analizzare le proprietà delle primitive. Presentiamo un risultato di rigidità sull’insieme delle primitive di una funzione: due primitive della stessa funzione differiscono per una costante.

Proposizione 3.1. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione e siano $F_1,F_2 \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ due sue primitive. Allora esiste $c \in \mathbb{R}$ tale che

(5) $\begin{equation*} F_1(x) - F_2(x) = c \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Definiamo la funzione $\Phi = F_1 - F_2$ . Ovviamente $\Phi$ è derivabile e vale

(6) $\begin{equation*} \Phi'(x) = F_1'(x) - F_2'(x) = f(x) - f(x) = 0 \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Siano $\alpha, \beta \in [a,b]$ con $\alpha < \beta$ ; per il teorema di Lagrange esiste $\xi \in (\alpha, \beta)$ tale che

(7) $\begin{equation*} \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = \Phi'(\xi) (\beta - \alpha). \end{equation*}$

Inserendo (6) in (7), si ottiene

(8) $\begin{equation*} \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = 0. \end{equation*}$

Per l’arbitrarietà di $\alpha, \beta \in [a,b]$ (8) mostra che la funzione $\Phi$ è costante, cioè che esiste $c \in \mathbb{R}$ tale che

(9) $\begin{equation*} \Phi(x)=c \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Ricordando che $\Phi= F_1 - F_2$ , (9) implica la tesi.

Osservazione 3.1. Subito dopo la definizione 2.2 abbiamo notato che, se $F$ è una primitiva di una funzione $f$ , allora ogni funzione $F+c$ con $c \in \mathbb{R}$ è un’altra primitiva di $f$ . La proposizione 3.1 mostra, d’altra parte, che tali funzioni esauriscono le primitive di una certa funzione $f$ , cioè che tutte le primitive di $f$ si ottengono aggiungendo una costante $c$ a una di esse.

Possiamo quindi concludere che tutte e sole le primitive di una funzione $f$ si ottengono aggiungendo una costante a una qualsiasi di esse.

Condizione necessaria per l'esistenza di primitive.

Prima di enunciare e dimostrare il teorema di Darboux, che è una condizione necessaria che la derivata di una funzione $F$ deve soddisfare, proviamo un lemma che sarà utile nella sua dimostrazione; esso è inoltre di interesse indipendente, in quanto costituisce una generalizzazione del famoso teorema di Fermat sulla derivata nei punti di minimo e massimo di una funzione.

Lemma 3.2 (teorema di Fermat generalizzato). Sia $\varphi \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile e sia $\xi \in [a,b]$ un punto di minimo relativo per $\varphi$ . Allora si ha

(10) $\begin{equation*} \varphi'(\xi) \begin{cases} \geq 0 & \text{se } \xi = a \\ =0 & \text{se } \xi \in (a,b)\\ \leq 0 & \text{se } \xi = b, \end{cases} \end{equation*}$

che si può riassumere nella disuguaglianza

(11) $\begin{equation*} \varphi'(\xi)(x- \xi) \geq 0 \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Se $\xi$ è un punto di massimo, valgono conclusioni analoghe con le disuguaglianze invertite.

$\quad$

Dimostrazione. Osserviamo che, per dimostrare la (10), basta provare che

(12) $\begin{equation*} \varphi'^+(\xi) \geq 0 \quad \text{se } \xi \in [a,b) \qquad \text{ e } \qquad \varphi'^-(\xi) \leq 0 \quad \text{se } \xi \in (a,b] \end{equation*}$

(dove $\varphi'^+(\xi)$ e $\varphi'^-(\xi)$ denotano le derivate rispettivamente destra e sinistra di $\varphi$ in $\xi$ ). Infatti (12) implica chiaramente i casi $\xi =a$ e $\xi=b$ di (10). Se $\xi \in (a,b)$ , l’esistenza della derivata $\varphi'(\xi) = \varphi'^+(\xi)= \varphi'^-(\xi)$ e le disuguaglianze (12) implicano

(13) $\begin{equation*} \varphi'(\xi)=0. \end{equation*}$

Dimostriamo quindi le (12). Supponiamo a tal fine che $\xi \in [a,b)$ sia un punto di minimo relativo per $\varphi$ . Allora esiste $\delta >0$ tale che

(14) $\begin{equation*} \frac{\varphi(\xi+h) - \varphi(\xi)}{h} \geq 0 \qquad \forall h \in (0,\delta). \end{equation*}$

Passando al limite per $h \to 0^+$ (che esiste per la derivabilità di $\varphi$ in $\xi$ ), si ha

(15) $\begin{equation*} \varphi'^+(\xi) = \lim_{h \to 0^+}\frac{\varphi(\xi+h) - \varphi(\xi)}{h} \geq 0, \end{equation*}$

che prova la prima delle disuguaglianze in (12). Con un ragionamento analogo si ottiene

(16) $\begin{equation*} \varphi'^-(\xi) \leq 0 \qquad \text{se } \xi \in (a,b]. \end{equation*}$

Ciò conclude la dimostrazione di (12).

La disuguaglianza (11) si ottiene facilmente da (10).

Possiamo ora dimostrare il teorema di Darboux; in sostanza, esso afferma che l’immagine di un intervallo tramite una derivata è ancora un intervallo.

Teorema 3.3 (Darboux). Sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile e sia $\eta$ un numero reale strettamente compreso tra $F'(a)$ e $F'(b)$ . Allora esiste $\xi \in (a,b)$ tale che $F'(\xi)= \eta$ .

$\quad$

Osservazione 3.2. L’ipotesi che $\eta$ sia strettamente compreso tra $F'(a)$ e $F'(b)$ è necessaria affinché $\xi$ sia strettamente compreso tra $a$ e $b$ , come mostra l’esempio della funzione $F\colon \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right] \to \mathbb{R}$ definita da $F(x)=\sin(x)$ .

Anche se $F'(a)=F'(b)=\eta$ , in generale esiste alcun $\xi \in (a,b)$ tale che $F'(\xi)= \eta$ , come si vede dall’esempio della funzione $F \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R}$ definita da $F(x)= \sin x$ . Poiché $F'(x)= \cos x$ , si ha

(17) $\begin{equation*} F'(0)= F'(2\pi)=1, \qquad \text{ma} \qquad F'(x) < 1 \quad \forall x \in (0,2\pi). \end{equation*}$

Tale fenomeno non può presentarsi per come abbiamo enunciato il teorema 3.3, in quanto il fatto che $\eta$ sia strettamente compreso tra $F'(a)$ e $F'(b)$ implica in particolare che $F'(a) \neq F'(b)$ .

Dimostrazione del teorema 3.3. Senza ledere la generalità, possiamo supporre $F'(a) < F'(b)$ , in quanto l’altro caso è analogo (o si ottiene, ad esempio, applicando questa dimostrazione alla funzione $-F$ ). Supponiamo quindi $\eta \in \big( F'(a), F'(b) \big)$ . Allora la funzione $\varphi \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ definita da

(18) $\begin{equation*} \varphi(x) = F(x) - \eta x \end{equation*}$

è derivabile, quindi continua; per il teorema di Weierstrass, esiste $\xi \in [a,b]$ che sia un punto di minimo assoluto per $\varphi$ in $[a, b]$ . Dimostriamo che $\xi \neq a$ . Infatti, poiché $a$ è l’estremo sinistro dell’intervallo, se esso fosse un punto di minimo assoluto di $\varphi$ , per il lemma 3.2 dovrebbe valere

(19) $\begin{equation*} 0 \leq \varphi'(a) = F'(a) - \eta, \end{equation*}$

che è assurdo per l’ipotesi $F'(a) < \eta$ . Per un ragionamento simile, $\xi \neq b$ , e quindi $\xi \in (a, b)$ . Allora, di nuovo per il lemma 3.2, si ha

(20) $\begin{equation*} 0 = \varphi'(\xi) = F'(\xi) - \eta. \end{equation*}$

Il teorema di Darboux può essere riletto nell’ottica dell’esistenza delle primitive di una certa funzione $f$ : affiché essa ammetta primitive, deve necessariamente soddisfare la cosiddetta proprietà dei valori intermedi.

Corollario 3.4. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione che ammette primitive. Allora $f$ soddisfa la proprietà dei valori intermedi (o proprietà di Darboux): se $\eta$ è strettamente compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ , allora esiste $\xi \in (a,b)$ tale che

(21) $\begin{equation*} f(\xi) = \eta. \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 3.3. La proprietà dei valori intermedi, essendo una condizione necessaria all’esistenza di primitive, può essere quindi usata come “criterio negativo” per stabilire che una data funzione non ammette primitive.

Esempio 3.1. La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(22) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0, \\ 1 & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*}$

non soddisfa la proprietà del valor medio, infatti si ha

(23) $\begin{equation*} f(-2) = 0, \qquad f(2)=1, \qquad \frac{1}{2} \in (0,1), \end{equation*}$

ma non esiste alcun $\xi \in (-2,2)$ per cui si abbia $f(\xi)= \dfrac{1}{2}$ . Per il teorema 3.3, non esiste alcuna funzione $F \colon [-2,2] \to \mathbb{R}$ tale che $F' = f$ .

Possiamo chiederci se la proprietà dei valori intermedi, oltre a essere necessaria per l’esistenza di primitive, sia anche sufficiente. Più precisamente, tentiamo di rispondere alla seguente questione.

Domanda 3.1. Il teorema di Darboux si può invertire? Cioè, se $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ è una funzione soddisfacente la proprietà dei valori intermedi, si può concludere che essa è la derivata di qualche funzione $F$ ?

La risposta alla domanda è purtroppo negativa: esistono funzioni soddisfacenti la proprietà dei valori intermedi che non ammettono primitive. Per dimostrarlo, osserviamo che l’esistenza di primitive è una proprietà stabile rispetto alla somma: se $f_1,f_2$ ammettono rispettivamente $F_1, F_2$ come loro primitive, allora $f_1 + f_2$ ammette primitive, e una di esse è data proprio da $F_1 + F_2$ .

Invece, la proprietà dei valori intermedi non si conserva per somma. Per verificarlo, consideriamo le funzioni $f_1, f_2 \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ definite da

(24) $\begin{equation*} f_1(x) = \begin{cases} \sin \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) & \text{se } x \neq 0, \\[10pt] 0 & \text{se } x=0; \end{cases} \qquad f_2(x) \begin{cases} \sin \bigg( \dfrac{1}{x} \bigg) & \text{se } x \neq 0, \\[12pt] \dfrac{1}{2} & \text{se } x=0. \end{cases} \end{equation*}$

Entrambe soddisfano la proprietà dei valori intermedi (verificarlo per esercizio), ma la loro differenza

(25) $\begin{equation*} f_2(x) - f_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \neq 0, \\[10pt] \dfrac{1}{2} & \text{se } x=0 \end{cases} \end{equation*}$

non la soddisfa. Ciò in particolare implica che almeno una tra $f_1$ e $f_2$ non può ammettere primitive (se così non fosse, la loro differenza ammetterebbe primitive e quindi soddisferebbe la proprietà dei valori intermedi).

Esistenza di primitive: il teorema fondamentale del calcolo integrale

Introduzione.

Abbiamo quindi visto che, per una funzione $f$ , avere la proprietà dei valori intermedi è una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché essa sia la derivata di una funzione $F$ .

Anche alla luce dell’osservazione fatta nell’introduzione, riguardo all’idea che gli operatori di derivazione e integrazione siano l’uno inverso dell’altro, ci si potrebbe chiedere se la funzione integrale di $f$ possa essere la primitiva $F$ cercata. Più precisamente, questa sezione è dedicata allo studio delle seguenti questioni.

Domanda 4.1. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione integrabile. Sotto quali condizioni si può concludere che

(26) $\begin{equation*} \frac{ \mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t = f(x) \qquad \forall x \in [a,b]? \end{equation*}$

Nella domanda 4.1, ci si interroga, in particolare, sotto quali ipotesi una primitiva di $f$ è data dalla sua funzione integrale.

Dalla risposta alla domanda 3.1 si vede che, anche ipotizzando che $f$ abbia la proprietà dei valori intermedi, $f$ può non avere alcuna primitiva; in particolare la (26) non vale in generale. Si potrebbe pensare che, rafforzando l’ipotesi dei valori intermedi, l’esistenza di primitive possa essere garantita. Ad esempio, ci si può chiedere se una funzione $f$ continua (che sicuramente ha la proprietà di Darboux, per il teorema dei valori intermedi) ammetta primitive e se soddisfi la (26).

Il prossimo importante risultato mostra come la continuità di $f$ dia risposta affermativa alla domanda 4.1.

Teorema 4.1 (teorema fondamentale del calcolo integrale — prima parte). Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua (e quindi integrabile secondo Riemann); allora la sua funzione integrale è derivabile e vale

(27) $\begin{equation*} \frac{ \mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t)\, \mathrm{d} t = f(x) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 4.1. Si può rileggere il teorema 4.1 nel seguente modo: la derivata della funzione integrale di una funzione continua è uguale alla funzione stessa.

Il teorema 4.1 è un semplice corollario del prossimo risultato.

Teorema 4.2. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione integrabile, sia $x_0 \in [a,b]$ un punto di continuità per $f$ e sia $G(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t$ la sua funzione integrale; allora $G$ è derivabile in $x_0$ e vale

(28) $\begin{equation*} G'(x_0) = f(x_0). \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione del teorema 4.2. Senza ledere la generalità scegliamo $x_0 \in (a,b)$ (agli estremi dell’intervallo basterà considerare solo la derivata destra o sinistra). Occorre provare che

(29) $\begin{equation*} \lim_{h \to 0} \frac{ G(x_0 + h) - G(x_0)}{h} = f(x_0). \end{equation*}$

Per fissare le idee, supponiamo $h>0$ (l’altro caso è analogo). Abbiamo quindi

(30) $\begin{equation*} \begin{split} \frac{ G(x_0 + h) - G(x_0)}{h} = & \frac{1}{h} \Big( \int_a^{x_0 + h} f(t) \, \mathrm{d} t - \int_a^{x_0} f(t) \, \mathrm{d} t \Big) = \\ = & \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \, \mathrm{d} t. \end{split} \end{equation*}$

Vogliamo usare l’ipotesi di continuità di $f$ in $x_0$ per stimare l’ultimo termine dell’uguaglianza e mostrare che esso è arbitrariamente vicino a $f(x_0)$ . Sia quindi $\varepsilon>0$ . Poiché $f$ è continua in $x_0$ , esiste $\delta>0$ tale che

(31) $\begin{equation*} |f(t) - f(x_0)| < \varepsilon \qquad \forall t \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta). \end{equation*}$

Se $|h| < \delta$ , si ha quindi

(32) $\begin{equation*} \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0 + h} \big(f(x_0) - \varepsilon \big) \, \mathrm{d} t \leq \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \, \mathrm{d} t \leq \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0 + h} \big(f(x_0) + \varepsilon \big) \, \mathrm{d} t. \end{equation*}$

Poiché le funzioni integrande al primo e al terzo membro sono costanti e l’intervallo di integrazione ha ampiezza $h$ , otteniamo

(33) $\begin{equation*} f(x_0) - \varepsilon \leq \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \, \mathrm{d} t \leq f(x_0) + \varepsilon \qquad \forall h \in (0, \delta). \end{equation*}$

Confrontando (30) e (33), per l’arbitrarietà di $\varepsilon$ si ottiene che $G$ è derivabile in $x_0$ e inoltre vale

(34) $\begin{equation*} G'(x_0) = f(x_0). \end{equation*}$

Osservazione 4.2. Il teorema 4.1 è quindi un risultato (essenzialmente l’unico) di esistenza di primitive per funzioni reali su un intervallo: stabilisce cioè che tutte le funzioni di una particolare classe (quelle continue su un intervallo) ammettono primitive; inoltre fornisce una descrizione di tali primitive: una di esse è la funzione integrale $G(x)= \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t$ di $f$ .

Controesempi all'esistenza di primitive.

Abbiamo quindi visto come, almeno nel caso di funzioni continue, la funzione integrale è derivabile e la sua derivata è proprio la funzione originaria. Ci si può chiedere se sia possibile generalizzare il teorema 4.1 indebolendone le ipotesi. Questa sezione presenta vari esempi di come, rinunciando alla continuità, non si può ottenere l’equazione (26) e, in generale, l’esistenza di primitive non possa essere dedotta.

La prima questione che occorre affrontare per dare un senso all’equazione (26) è la derivabilità della funzione integrale.

Domanda 4.2. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione integrabile. Si può affermare che la sua funzione integrale $G(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d}t$ è derivabile?

La risposta è negativa, come mostra il prossimo esempio.

Esempio 4.1. Sia $f$ la funzione dell’esempio 3.1, cioè la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(35) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0, \\ 1 & \text{se } x \geq 0. \end{cases} \end{equation*}$

$f$ è chiaramente integrabile, ma la sua funzione integrale

(36) $\begin{equation*} G(x)= \int_{-1}^x f(t) \, {\mathrm{d}t} = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0, \\ x & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \end{equation*}$

non è derivabile in $0$ . Come si evincerà dall’osservazione 5.3, ciò implica che $f$ non può ammettere primitive.

Abbiamo quindi visto che la derivabilità della funzione integrale $G$ di una funzione $f$ limitata non è automaticamente garantita. Come nota a margine, si può dimostrare però che $G$ è sempre continua, come mostra il prossimo esercizio, per la cui soluzione rimandiamo alla sezione 6.

Esercizio 4.1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Provare che, se $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ è limitata e integrabile, allora la sua funzione integrale $G(x)= \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t$ è lipschitziana. In particolare $G$ è continua. Cosa si può dire della costante di Lipschitz di $G$ ?

$\quad$

Ci si può chiedere se, richiedendo per ipotesi la derivabilità della funzione integrale, si possa rispondere affermativamente alla domanda 4.1. Più precisamente, si può analizzare la seguente questione.

Domanda 4.3. Sia $f$ una funzione integrabile tale che la funzione integrale $G(x) = \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t$ sia derivabile. Si può concludere che vale (26)? In altre parole, si può dire $G$ è una primitiva di $f$ ?

Anche per questa domanda la risposta è negativa, come mostra il prossimo esempio.

Esempio 4.2. Sia $f \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

(37) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \in [-1,0) \cup (0,1], \\ 1 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}$

$f$ è integrabile e la sua funzione integrale soddisfa

(38) $\begin{equation*} G(x)=\int_{-1}^x f(t) \,{\mathrm{d}t} = 0 \qquad \forall x \in [-1,1]. \end{equation*}$

$G$ è quindi derivabile, con derivata identicamente nulla. Ma la (26) non è valida e $G$ non è una primitiva di $f$ , in quanto

(39) $\begin{equation*} G'(0)=0 \neq 1 = f(0). \end{equation*}$

Oltretutto, $f$ non può ammettere primitive in quanto essa non soddisfa la proprietà di Darboux.

All’esempio 4.2 si potrebbe obiettare che la funzione $f$ non possiede la proprietà di Darboux. Possiamo quindi studiare la seguente questione.

Domanda 4.4. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione integrabile, soddisfacente la proprietà di Darboux e tale che la sua funzione integrale $G(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d}t$ sia derivabile. Si può concludere la (26)?

Analizzando la questione da un punto di vista euristico, si può osservare che, mentre la proprietà dei valori intermedi è di tipo puntuale, cioè dipende dal valore della funzione in ogni singolo punto, l’integrabilità non lo è: cambiando il valore di una funzione in un unico punto, la sua integrabilità e il valore del suo integrale non cambiano.

Ciò vuole suggerire che, in qualche modo, l’integrabilità e la proprietà di Darboux “non si parlano”. Anche per la domanda 4.4, infatti, la risposta è negativa, come si vedrà nell’esempio 5.1.

Teorema fondamentale del calcolo integrale: seconda parte

introduzione.

La domanda 4.1 chiedeva sotto quali ipotesi la derivata della funzione integrale restituisce la funzione integranda. Si può affrontare la questione simmetrica della precedente, provando cioè a ricostruire una funzione derivabile integrando la sua derivata.

Domanda 5.1. Sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile. Si può dire che

(40) $\begin{equation*} \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d} t = F(x) \qquad \forall x \in [a,b]? \end{equation*}$

Chiaramente la domanda 5.1 ha in generale una risposta negativa: calcolando i due membri di (40) nel punto $x=a$ si avrebbe

(41) $\begin{equation*} 0 = F(a). \end{equation*}$

Ciò pone una restrizione al valore di $F$ in un punto, che è “vista” dal membro di destra della (43) ma non da quello di sinistra: si ha infatti

(42) $\begin{equation*} (F+c)'=F' \qquad \forall c \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Si può ovviare a questo problema sottraendo a $F$ una opportuna costante (il valore $F(a)$ ), in modo che (40) possa di principio essere soddisfatta.

Domanda 5.2. Sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile. Si può dire che

(43) $\begin{equation*} \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d} t = F(x) - F(a) \qquad \forall x \in [a,b]? \end{equation*}$

Si può facilmente vedere che la domanda 5.2 ha risposta affermativa se $F$ è derivabile con continuità, come mostra il prossimo risultato, che è un semplice corollario del teorema 4.1.

Proposizione 5.1. Sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile con derivata $F'$ continua; allora si ha

(44) $\begin{equation*} \int\limits_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t = F(x)-F(a) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Poiché $F'$ è continua, il teorema 4.1 implica che la funzione integrale $G$ di $F'$ , definita da

(45) $\begin{equation*} G(x)= \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d} t, \end{equation*}$

è una primitiva di $F'$ . Poiché ovviamente anche $F$ è una primitiva di $F'$ , otteniamo

(46) $\begin{equation*} F(x) - F(a) = G(x) - G(a) = G(x) = \int_a^x F'(t) \,\mathrm{d} t \qquad \forall x \in [a,b], \end{equation*}$

dove la prima uguaglianza segue dalla proposizione 3.1, mentre la seconda uguaglianza segue dal fatto che $G(a)=0$ .

Abbiamo così dimostrato la (43) nel caso in cui $F'$ sia continua. Viene naturale chiedersi se tale formula vale in ipotesi più generali, ad esempio se $F$ sia soltanto derivabile.) Il primo aspetto che occorre affrontare affinché l’equazione (43) abbia senso è chiedersi se l’integrale di $F'$ sia ben definito.

Domanda 5.3. Sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile. Si può dire che $F'$ è integrabile?

La risposta è negativa, come mostra l’esempio della funzione determinata dal matematico italiano Vito Volterra: una funzione derivabile ovunque, la cui derivata è limitata ma non integrabile secondo Riemann. Non proviamo l’esistenza di tale funzione, che esula dagli scopi di questa dispensa, e utilizza strumenti più avanzati che il lettore potrebbe non possedere.

A questo punto, ci si può chiedere se, assumendo per ipotesi l’integrabilità di $F'$ , si possa dimostrare la validità di (43).

Domanda 5.4. Sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile tale che $F'$ sia limitata e integrabile secondo Riemann. Si può concludere che vale la (43)?

La risposta è affermativa, come mostrato dal prossimo risultato che costituisce la seconda parte del teorema fondamentale del calcolo integrale e che costituisce una generalizzazione della proposizione 5.1. Il teorema in sostanza afferma che, se la (43) si può scrivere, allora essa è valida.

Teorema 5.2 (teorema fondamentale del calcolo integrale – seconda parte). Sia $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione derivabile tale che $F'$ sia limitata e integrabile secondo Riemann; allora si ha

(47) $\begin{equation*} \int\limits_a^x F'(t) \,\mathrm{d}t = F(x)-F(a) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Chiamiamo $f=F'$ e cominciamo innanzitutto con l’osservare che è sufficiente mostrare la (47) per $x=b$ ;

L’idea principale della dimostrazione consiste nel far vedere che il numero reale $F(b) - F(a)$ è compreso tra le somme inferiore e superiore di $f$ relative a una generica partizione dell’intervallo $[a,b]$ . Poiché, per l’ipotesi di integrabilità di $f$ , l’unico numero reale con tale proprietà è proprio l’integrale di $f$ , ciò mostrerà la (47).

Sia $P$ una partizione di $[a,b]$ :

(48) $\begin{equation*} P = \{ I_i \coloneqq [t_{i-1}, t_i] : i=1, \dots, n \}, \end{equation*}$

dove

(49) $\begin{equation*} a=t_0 < t_1 < \dots < t_n = b. \end{equation*}$

Le somme superiore e inferiore di $f$ relative alla partizione $P$ sono definite da

(50) $\begin{equation*} \begin{gathered} S(f,P) = \sum_{i=1}^n (\sup_{I_i} f) (t_i - t_{i-1}), \\ s(f,P) = \sum_{i=1}^n (\inf_{I_i} f )(t_i - t_{i-1}). \end{gathered} \end{equation*}$

Applicando il teorema di Lagrange alla funzione $F$ su ognuno degli intervalli $I_i$ , per ogni $i=1, \dots, n$ esiste $\xi_i \in (t_{i-1}, t_i)$ tale che

(51) $\begin{equation*} F(t_i) - F(t_{i-1}) = F'(\xi_i)(t_i - t_{i-1}) = f(\xi_i)(t_i - t_{i-1}). \end{equation*}$

Sommando su tutti gli intervalli $I_i$ otteniamo

(52) $\begin{equation*} \begin{split} F(b)- F(a) = & \sum_{i=1}^n \big( F(t_i)- F(t_{i-1}) \big) = \\ %= & %\sum_{i=1}^n F'(\xi_i)(t_i - t_{i-1}) %\\ = & \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(t_i - t_{i-1}). \end{split} \end{equation*}$

Quest’ultima quantità, per come sono definite $s(f,P)$ e $S(f,P)$ , soddisfa

(53) $\begin{equation*} s(f,P) \leq \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(t_i - t_{i-1}) \leq S(f,P), \end{equation*}$

da cui, per la (52), si ottiene

(54) $\begin{equation*} s(f,P) \leq F(b)- F(a) \leq S(f,P). \end{equation*}$

Per l’arbitrarietà della partizione $P$ , si può passare all’estremo superiore per $s(f,P)$ e all’estremo inferiore per $S(f,P)$ su tutte le partizioni $P$ di $[a,b]$ e ottenere

(55) $\begin{equation*} s(f) \leq F(b) - F(a) \leq S(f), \end{equation*}$

dove le quantità $s(f)$ e $S(f)$ sono dette rispettivamente integrale inferiore e integrale superiore di $f$ su $[a,b]$ e sono definite da

(56) $\begin{equation*} \begin{gathered} s(f) \coloneqq \sup \big\{ s(f,P) : \text{$P$ è partizione di $[a,b]$}\big\}, \\ S(f) \coloneqq \inf \big\{ S(f,P) : \text{$P$ è partizione di $[a,b]$}\big\}. \end{gathered} \end{equation*}$

D’altra parte, poiché $f$ è per ipotesi integrabile secondo Riemann (cf. [2, definizione 3]), si ha

(57) $\begin{equation*} s(f) = \int_a^b f(t) \, \mathrm{d}t = S(f). \end{equation*}$

Unendo (55) e (57) si ottiene (47).

Osservazione 5.1. La formula (47) rimarrebbe vera indebolendo le ipotesi su $F$ : si potrebbe cioè richiedere che essa sia derivabile solo su $(a,b)$ e che sia continua in $a$ e $b$ . Infatti, analizzando la dimostrazione, si vede che è sufficiente poter applicare a $F$ il teorema di Lagrange su $[a,b]$ , e quelle elencate sopra sono proprio le condizioni per poterlo fare.

Osservazione 5.2. L’ipotesi che $F'$ sia limitata è importante per la dimostrazione (senza di essa, ad esempio, non potrebbero essere scritte le somme superiori e inferiori di $F'$ ) e non è automaticamente soddisfatta, come mostra il prossimo esercizio, per la cui soluzione rimandiamo alla sezione 6.

Esercizio 5.1 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Trovare un esempio di una funzione $F \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ derivabile, tale che $F'$ sia illimitata.

$\quad$

Chiamando $f=F'$ , il teorema 5.2 si può rileggere dal punto di vista del legame tra la funzione integrale di $f$ e una sua primitiva. Lo esplicitiamo nel seguente corollario.

Corollario 5.3. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione integrabile che ammette primitive in $[a,b]$ . Allora la funzione $G(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ è derivabile e soddisfa

(58) $\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} G(x) = f(x) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

In altre parole, la funzione integrale $G$ di $f$ è una primitiva di $f$ .

$\quad$

Dimostrazione. Se $F$ è una primitiva di $f$ , dalla (47) e dalla definizione di $G$ si ha

(59) $\begin{equation*} G(x) = F(x) - F(a) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Poiché $F$ è una primitiva di $f$ , ciò implica che $G$ è derivabile per ogni $x \in [a,b]$ e vale

(60) $\begin{equation*} G'(x) = F'(x) = f(x) \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Osservazione 5.3. Possiamo quindi vedere il corollario 5.3 come un risultato di “unicità” (a meno di costanti) delle primitive: se una funzione integrabile ammette una primitiva $F$ , essa coincide (a meno della costante $F(a)$ ) con la sua funzione integrale.

Ciò può essere considerato quindi un criterio per escludere che una funzione $f$ integrabile ammetta una primitiva: se la sua funzione integrale $G$ non è derivabile o non vale la (58), allora per il teorema 5.2 non può esistere alcuna primitiva di $f$ . Questo mostra che la funzione dell’esempio 3.1 non ammette alcuna primitiva.

Un altro controesempio.

Possiamo usare il teorema 5.2 per rispondere (negativamente) alla domanda 4.4, costruendo una funzione integrabile, soddisfacente la proprietà dei valori intermedi, avente funzione integrale ovunque derivabile, ma che non ammette primitive.

Esempio 5.1. Sia $f \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

(61) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 2x \sin \bigg(\dfrac{1}{x} \bigg) - \cos \bigg(\dfrac{1}{x} \bigg) & \text{se } x \in [-1,0) \cup (0,1], \\[12pt] \dfrac{1}{2} & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Si può verificare che $f$ soddisfa la proprietà di Darboux e che $f$ è integrabile in $[-1,1]$ (in quanto essa è limitata e ha $0$ come unico punto di discontinuità). Sia $G \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ la funzione definita come

(62) $\begin{equation*} G(x) = \begin{cases} x^2 \sin \bigg(\dfrac{1}{x} \bigg) & \text{se } x \in [-1,0) \cup (0,1], \\[10pt] 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Affermiamo che $G(x) = \int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t$ , cioè che $G$ è una funzione integrale di $f$ . Infatti, supponiamo per fissare le idee $x>0$ ; $G$ è chiaramente una primitiva di $f$ in $(0,1]$ ; pertanto, per il teorema 5.2, per ogni $\varepsilon>0$ si ha

(63) $\begin{equation*} \int_\varepsilon^x f(t)\, \mathrm{d}t = G(x) - G(\varepsilon). \end{equation*}$

Poiché $G$ è continua e $f$ è limitata (cf. esercizio 4.1), passando al limite per $\varepsilon \to 0$ si ottiene

(64) $\begin{equation*} \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t = G(x). \end{equation*}$

Si può verificare che $G$ è ovunque derivabile e vale

(65) $\begin{equation*} G'(x) = \begin{cases} 2x \sin \bigg(\dfrac{1}{x} \bigg) - \cos \bigg(\dfrac{1}{x} \bigg) & \text{se } x \in [-1,0) \cup (0,1], \\[10pt] 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Come si può osservare, (58) non è valida in quanto si ha $G'(0) \neq f(0)$ , quindi $G$ non è una primitiva di $f$ . Di nuovo per il corollario 5.3, otteniamo che $f$ non può ammettere alcuna primitiva, in quanto la sua funzione integrale $G$ non è una di esse.

Soluzioni degli esercizi

Soluzione dell'esercizio 4.1.

Dimostriamo che la funzione integrale $G$ è lipschitziana, cioè che esiste una costante $L>0$ (detta costante di Lipschitz di $G$ ) tale che

(66) $\begin{equation*} |G(x) - G(y)| \leq L |x- y| \qquad \forall x, y \in [a,b]. \end{equation*}$

Chiaramente, una funzione $G$ soddisfacente (66) è in particolare continua. Affermiamo che, nel nostro caso, si può scegliere

(67) $\begin{equation*} L \coloneqq \sup_{t \in [a,b]} |f(t)|. \end{equation*}$

Osserviamo innanzitutto che la costante $L$ definita da (67) soddisfa $L < + \infty$ per l’ipotesi di limitatezza di $f$ . Si ha

(68) $\begin{equation*} \begin{split} |G(x) - G(y)| = & \bigg| \int_a^x f(t) \, \mathrm{d}t - \int_a^y f(t) \, \mathrm{d}t \bigg| = \\ = & \bigg| \int_y^x f(t) \, \mathrm{d}t \bigg| \leq \\ \leq & \int_y^x |f(t)| \, \mathrm{d}t \leq \\ \leq & \int_y^x L \, \mathrm{d}t = \\ = & L |x-y|, \end{split} \end{equation*}$

dove nella prima disuguaglianza abbiamo usato la disuguaglianza triangolare integrale e nella seconda disuguaglianza abbiamo sfruttato (67). Ciò prova che $G$ è lipschitziana con costante di Lipschitz pari proprio a $\sup_{[a,b]}|f|$ .

Soluzione dell'esercizio 5.1.

Consideriamo la funzione $F \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ definita da

(69) $\begin{equation*} F(x) = \begin{cases} x^{\frac{3}{2}} \sin \bigg( \dfrac{1}{x}\bigg) & \text{se } x \neq 0 \\[10pt] 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla definizione segue che $F$ è derivabile in $[-1,0) \cup (0,1]$ e la sua derivata è pari a

(70) $\begin{equation*} F'(x) =\frac{3}{2}\sqrt{x} \sin \Big( \frac{1}{x}\Big) - \frac{1}{\sqrt{x}} \cos \Big( \frac{1}{x}\Big) \qquad \forall x \in [-1,0) \cup (0,1]. \end{equation*}$

Si può facilmente vedere che $F'$ è illimitata in un intorno di $x=0$ . Infatti, ad esempio si può considerare la successione

(71) $\begin{equation*} x_n = \frac{1}{2n \pi}. \end{equation*}$

Si ha $x_n \to 0^+$ e

(72) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} F'(x_n) = \lim_{n \to +\infty} -\sqrt{2n \pi} = - \infty. \end{equation*}$

Per completare la soluzione, occorre solo provare che $F$ è derivabile in $0$ . Affermiamo che $F'(0)=0$ ; infatti

(73) $\begin{equation*} \frac{|F(x) - F(0)|}{|x|} \leq \frac{|x|^{\frac{3}{2}}}{|x|} = |x|^{\frac{1}{2}} \qquad \forall x \neq 0. \end{equation*}$

Poiché $\displaystyle \lim_{x \to 0} |x|^{\frac{1}{2}}=0$ , ciò prova che

(74) $\begin{equation*} F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x} = 0. \end{equation*}$

Osservazione 6.1.

La funzione $F$ definita nel precedente esercizio è in particolare derivabile ovunque ma con derivata discontinua in $0$

Riferimenti bibliografici

[1] Acerbi, E. & Buttazzo, G., Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editrice (1997).

[2] Qui si risolve, teoria integrali definiti e indefiniti — integrazione secondo Riemann;

[3] La dimostrazione del teorema 5.2 è ad opera di G. Bramanti e Vincenzo Rubino.

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